题目内容
【题目】已知点是椭圆
的右焦点,点
,
分别是
轴,
轴上的动点,且满足
.若点
满足
(
为坐标原点).
(Ⅰ)求点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)设过点任作一直线与点
的轨迹交于
,
两点,直线
,
与直线
分别交于点
,
,试判断以线段
为直径的圆是否经过点
?请说明理由.
【答案】(1)(2)经过
【解析】
(Ⅰ)由椭圆的方程,得到右焦点
的坐标,根据向量的数量积的运算公式,求得
和
,代入即可求解抛物线的标准方程;
(Ⅱ)解法一:设直线的方程为
,得到
,
,联立方程组,求得
,利用向量的数量积的运算
,即可得到证明;
解法二:①当时,利用向量的数量积得到
;②当
不垂直
轴时,设直线
的方程为
,联立方程组,求解
,进而证得
,即可得到证明.
(Ⅰ)∵椭圆右焦点
的坐标为
,
∴.∵
,
∴由,得
.
设点的坐标为
,由
,有
,
,代入
,得
.
即点的轨迹
的方程为
.
(Ⅱ)解法一:设直线的方程为
,
,
,
则:
,
:
.
由得
,同理得
.
∴,
,则
.
由得
,∴
.
则.
因此,以线段为直径的圆经过点
.
解法二:①当时,
,
,则
:
,
:
.
由,得点
的坐标为
,则
,
由,得点
的坐标为
,则
.
∴.
②当不垂直
轴时,设直线
的方程为
,
,
,
同解法一,得.
由,得
,∴
.
则.
因此,以线段为直径的圆经过点
.

练习册系列答案
相关题目