题目内容
【题目】已知函数(
为自然对数的底数)
(Ⅰ)试讨论函数的导函数
的极值;
(Ⅱ)若(
为自然对数的底数),
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)由导数的求导法则得出,利用导数求极值的步骤得出极值。
(Ⅱ)构造函数令,求导得到
,利用导数求最值的方法对
的值进行分类讨论,即可得出实数
的取值范围。
(Ⅰ)的定义域为
.
,
当时,
,函数
在
单调递增,函数
没有极值.
当时,由
,得
,函数
在
上单调递减,在
上单调递增.
函数的极小值为
,没有极大值.
(Ⅱ)对,
恒成立,即对
,
,
对
,
.
令,则
.
①当,即
时,对
,
,
在
上单调递增,
,解得
,
满足题意.
当
时,即
,对
,
,
在
上单调递减,
,解得
满足题意.
③当,即
时,对于
,
;对于
,
.
在
上单调递减,在
上单调递增,
.
即
设,由于
在
单调递减,
,即
,
满足题意.
综上①②③可得,.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为了调查煤矿公司员工的饮食习惯与月收入之间的关系,随机抽取了30名员工,并制作了这30人的月平均收入的频率分布直方图和饮食指数表(说明:图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主).其中月收入4000元以上员工中有11人饮食指数高于70.
20 | 21 | 21 | 25 | 32 | 33 |
36 | 37 | 42 | 43 | 44 | 45 |
45 | 58 | 58 | 59 | 61 | 66 |
74 | 75 | 76 | 77 | 77 | 78 |
78 | 82 | 83 | 85 | 86 | 90 |
(Ⅰ)是否有95%的把握认为饮食习惯与月收入有关系?若有请说明理由,若没有,说明理由并分析原因;
(Ⅱ)以样本中的频率作为概率,从该公司所有主食蔬菜的员工中随机抽取3人,这3人中月收入4000元以上的人数为,求
的分布列与期望;
(Ⅲ)经调查该煤矿公司若干户家庭的年收入(万元)和年饮食支出
(万元)具有线性相关关系,并得到
关于
的回归直线方程:
.若该公司一个员工与其妻子的月收入恰好都为这30人的月平均收入(该家庭只有两人收入),估计该家庭的年饮食支出费用.
附:
.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |