Question

2．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，BC=BB₁，且A₁C∩AC₁=D，BC₁∩B₁C=E，连结DE．
（1）求证：A₁B₁⊥平面BB₁C₁C；
（2）求证：A₁C⊥BC₁；
（3）求证：DE⊥平面BB₁C₁C．

Answer 1

分析 （1）由在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，可证明A₁B₁⊥B₁C₁，又BB₁⊥A₁B₁，即可证明A₁B₁⊥平面BB₁C₁C；
（2）由题意可得BC₁⊥B₁C，A₁B₁⊥BC₁；可证明BC₁⊥平面AB₁C，即可证明BC₁⊥A₁C．
（3）由题意可得DE∥A₁B₁由（1）可证明：DE⊥平面BB₁C₁C．

解答 证明：（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，
∴A₁B₁⊥B₁C₁；
∵BB₁⊥A₁B₁，B₁C₁∩BB₁=B₁．
∴A₁B₁⊥平面BB₁C₁C；
（2）∵BC=BB₁，∴由题意可得BB₁C₁C为正方形，∴BC₁⊥B₁C，
∵A₁B₁⊥BC₁；A₁B₁∩B₁C=B₁；
∴BC₁⊥平面AB₁C，A₁C⊥平面AB₁C；
∴BC₁⊥A₁C．
（3）∵由题意可得D，E分别为A₁C，B₁C的中点，
∴DE∥A₁B₁
∴由（1）可证明：DE⊥平面BB₁C₁C．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，空间中直线与直线之间的位置关系，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．