题目内容
13.在如图所示的图形中,每个小四边形都是边长相等的正方形,则向量$\overrightarrow{AG}$=( )A. | $\frac{2}{3}\overrightarrow{EF}+\frac{7}{3}\overrightarrow{DH}$ | B. | $\frac{5}{3}\overrightarrow{EF}+\frac{4}{3}\overrightarrow{DH}$ | C. | $\frac{8}{3}\overrightarrow{EF}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DH}$ | D. | $\frac{10}{3}\overrightarrow{EF}-\frac{1}{3}\overrightarrow{DH}$ |
分析 根据图形,及数乘的几何意义,可用向量$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$表示出图中三个向量:$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$,$\overrightarrow{DH}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$,$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$.可设$\overrightarrow{AG}=λ\overrightarrow{EF}+μ\overrightarrow{DH}$,从而得到$\overrightarrow{AG}=\frac{λ+μ}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{λ-2μ}{3}\overrightarrow{AD}$,根据平面向量基本定理便可得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ+μ}{3}=1}\\{\frac{λ-2μ}{3}=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$,这样解出λ,μ即可用$\overrightarrow{EF},\overrightarrow{DH}$表示向量$\overrightarrow{AG}$.
解答 解:可用$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$表示图中三个向量:$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$,$\overrightarrow{DH}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$,$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$;
设$\overrightarrow{AG}=λ\overrightarrow{EF}+μ\overrightarrow{DH}$=$\frac{λ}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+\frac{μ}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2μ}{3}\overrightarrow{AD}$=$\frac{λ+μ}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{λ-2μ}{3}\overrightarrow{AD}$;
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ+μ}{3}=1}\\{\frac{λ-2μ}{3}=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$;
解得$λ=\frac{8}{3},μ=\frac{1}{3}$;
∴$\overrightarrow{AG}=\frac{8}{3}\overrightarrow{EF}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DH}$.
故选:C.
点评 考查向量数乘的几何意义,向量加法的平行四边形法则,向量的数乘运算,以及平面向量基本定理.