Question

14．我市有甲、乙两个污水处理厂，我厂去年的污水处理量均为1000万吨，在今后的若干年内，两厂进行技术改进，甲厂从今年起每年的年处理量比上一年增加100万吨，乙厂的A车间去年的处理量为20万吨，计划从今年起A车间的年处理量每年都为上一年的2倍，其它车间维持原来的处理量，记今年为第1年，甲乙两处理厂第n（n∈N^*）年的年处理量分别记为a_n，b_n ．
（1）分别求a_n=f（n），b_n=g（n）；
（2）当乙厂A车间的年处理量达到其他车间年处理量的3倍时，将关停其他车间，问几年后其它车间将被关停；
（3）当某厂的年处理量达到另一个厂年处理量的3倍时，处理量少的厂将被兼并，问几年后哪一个厂被兼并？

Answer 1

分析 （1）通过分析可知甲厂的年处理量构成一个以1100（万吨）为首项、100（万吨）为公差的等差数列，乙厂A车间的年处理量构成以40（万吨）为首项、2为公比的等比数列，分别计算即得结论；
（2）通过（1）可知乙厂A车间第n（n∈N^*）年的年处理量c_n=20×2ⁿ，通过解方程20×2ⁿ=3×980、计算即得结论；
（3）通过（1）利用列举法计算出各年的处理量，比较即得结论．

解答 解：（1）依题意，甲厂的年处理量构成一个以1100（万吨）为首项、100（万吨）为公差的等差数列，
∴a_n=1100+100（n-1）=1000+100n，
乙厂A车间的年处理量构成以40（万吨）为首项、2为公比的等比数列，
∴b_n=（1000-20）+40×2^n-1
=980+20×2ⁿ；
（2）由（1）可知，乙厂A车间第n（n∈N^*）年的年处理量c_n=20×2ⁿ，
令c_n=3×（1000-20），即20×2ⁿ=3×980，
解得：n=log₂147∈（7，8），
∴8年后其它车间将被关停；
（3）由（1）可知各年的处理量如下表：

n	1	2	3	4	5	6	7
an	1100	1200	1300	1400	1500	1600	1700
bn	1020	1060	1140	1300	1620	2260	3540

∴8年后甲厂被兼并．

点评 本题考查等差数列与等比数列的综合，考查用数列解决实际问题，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．