Question

10．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{a}$|≥1，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$）=3，则|$\overrightarrow{c}$|的取值范围是[1，3]．

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，可得$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，可设$\overrightarrow{a}$=（m，0），$\overrightarrow{b}$=（0，n），由条件可得m²+n²=4，设$\overrightarrow{c}$=（x，y），由条件（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$）=3，可得（x-m）x+（y-n）y=3，即有x²+y²-mx-ny-3=0，求得圆心和半径，再由圆的最值的求法，即可得到所求范围．

解答 解：由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，
由向量的平行四边形法则，可得$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
可设$\overrightarrow{a}$=（m，0），$\overrightarrow{b}$=（0，n），
即有m²+n²=4，
设$\overrightarrow{c}$=（x，y），由（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$）=3，
可得（x-m）x+（y-n）y=3，
即有x²+y²-mx-ny-3=0，
表示圆心C（$\frac{m}{2}$，$\frac{n}{2}$），半径为$\sqrt{3+\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{4}}$=2的圆，
则|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$表示原点和圆上的点的距离，
即有最小值为2-$\sqrt{\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{4}}$=1；
最大值为2+$\sqrt{\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{4}}$=3．
故所求取值范围是[1，3]，
故答案为：[1，3]．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，考查坐标法的运用，圆的方程的运用，两点的距离的运用，属于中档题．