题目内容
【题目】已知函数在
(
为自然对数的底)时取得极值且有两个零点.
(1)求实数的取值范围;
(2)记函数的两个零点为
,证明:
.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】
试题分析:(1) 在
时取得极值
,由
的符号及函数的单调性可知
为函数的极大值,所以
有两个零点等价于
,解之即可;(2) 不妨设
,由题意知
,两式相加可得
即
,欲证
,只需证明:
,只需证明:
,即证
即可,设
,则只需证明:
,构造函数
,证
即可.
试题解析: (1),
由,且当
时,
,当
时,
,
所以在
时取得极值,所以
,
所以,函数
在
上递增,在
上递减,
,
时,
时,
有两个零点
,
故;.
(2)不妨设,由题意知
,
则,
欲证,只需证明:
,只需证明:
,
即证:,
即证,设
,则只需证明:
,
也就是证明:,
记,∴
,
∴在
单调递增,
∴,所以原不等式成立,故
得证.
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练习册系列答案
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温差 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
发芽数 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
该所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组,用剩下的3组数据求出线性回归方程,再对被选取的2组数据进行检验.
(1)若选取的是第1组与第5组的两组数据,请根据第2组至第4组的数据,求出关于
的线性回归方程
;
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠?
(参考公式:,
)