题目内容
1.已知底面为边长为2的正方形,侧棱长为1的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,P,Q是面A1B1C1D1上的两个不同的动点.给出以下四个结论:①若DP=$\sqrt{3}$,则DP在该四棱柱六个面上的投影长度之和的最大值为6$\sqrt{2}$;
②若P在面对角线A1C1上,则在棱DD1上存在一点M使得MB1⊥BP;
③若P,Q均在面对角线A1C1上,且PQ=1,则四面体BDPQ的体积一定是定值;
④若P,Q均在面对角线A1C1上,则四面体BDPQ在底面ABCD-A1B1C1D1上的投影恒为凸四边形的充要条件是PQ>$\sqrt{2}$;
以上各结论中,正确结论的个数是( )
A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
分析 ①若DP=$\sqrt{3}$,P点落在以D1为圆心,以$\sqrt{2}$为半径的弧上,求出DP在该四棱柱六个面上的投影长度之和的最大值,可判断①;
②三垂线定理可得:当OB与MB1垂直时,MB1⊥BP,判断M点是否在棱DD1上,可判断②;
③若P,Q均在面对角线A1C1上,求出四面体BDPQ的体积,可判断③;
④根据充要性的条件,判断四面体BDPQ在底面ABCD-A1B1C1D1上的投影恒为凸四边形与PQ>$\sqrt{2}$的关系,可判断④.
解答 解:若DP=$\sqrt{3}$,P点落在以D1为圆心,以$\sqrt{2}$为半径的弧上,
当P为弧的中点时,DP在该四棱柱六个面上的投影的和取最大值
此时DP在该四棱柱六个面上的投影均为$\sqrt{2}$,
故DP在该四棱柱六个面上的投影长度之和的最大值为6$\sqrt{2}$,故①正确;
若P在面对角线A1C1上,
由三垂线定理可得:当OB与MB1垂直时,MB1⊥BP,
而当MB1⊥BP时,D1M=4>1,
即棱DD1上不存在一点M使得MB1⊥BP,故②错误;
③若P,Q均在面对角线A1C1上,且PQ=1,
则△PQR的面积为定值$\frac{1}{2}$,且BD⊥平面PQR,
则V=$\frac{1}{3}$S△PQR•BD=$\frac{\sqrt{2}}{3}$.
则四面体BDPQ的体积为定值,故③正确;
若P,Q均在面对角线A1C1上,则四面体BDPQ在底面ABCD-A1B1C1D1上的投影恒为凸四边形,
则P、Q必在对角线B1D1的两侧,则PQ>$\sqrt{2}$;
反之当PQ>$\sqrt{2}$时,P、Q必在对角线B1D1的两侧,
四面体BDPQ在底面ABCD-A1B1C1D1上的投影恒为凸四边形,
故四面体BDPQ在底面ABCD-A1B1C1D1上的投影恒为凸四边形的充要条件是PQ>$\sqrt{2}$,故④正确;
故正确结论的个数是3个,
故选:C
点评 本题以命题的真假判断为载体,考查了空间投影,三垂线定理,棱锥的体积,充要条件等知识点,综合性强,难度较大.
A. | (0,5)和(0,-5) | B. | ($\sqrt{7}$,0)和(-$\sqrt{7}$,0) | C. | (0,$\sqrt{7}$)和(0,-$\sqrt{7}$) | D. | (5,0)和(-5,0) |
A. | 1 | B. | 2 | C. | $\sqrt{3}$ | D. | $2\sqrt{3}$ |
A. | 2 | B. | -2 | C. | 0 | D. | -4 |