Question

8、设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）．求证：
（1）f（x）是奇函数；
（2）若当x＞0时，有f（x）＞0，则f（x）在R上是增函数．

Answer 1

分析：（1）判断f（x）奇偶性，即找出f（-x）与f（x）之间的关系，∴令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x），故问题转化为求f（0）即可，可对x、y都赋值为0；
（2）依据函数单调性的定义判断函数的单调性，充分利用条件当x＞0时，有f（x）＞0与f（x+y）=f（x）+f（y），即可判定单调性．

解答：解：（1）显然f（x）的定义域是R，关于原点对称．
又∵函数对一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，得f（0）=2f（0），∴f（0）=0．
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（2）任取x₁＜x₂，x₂-x₁＞0，则f（x₂-x₁）＞0
∴f（x₂）+f（-x₁）＞0；
对f（x+y）=f（x）+f（y）取x=y=0得：f（0）=0，
再取y=-x得f（x）+f（-x）=0即f（-x）=-f（x），
∴有f（x₂）-f（x₁）＞0
∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在R上递增．

点评：本题考点是抽象函数及其性质，在研究其奇偶性时本题采取了连续赋值的技巧，这是判断抽象函数性质时常用的一种探究的方式，属于中档题．