题目内容

【题目】已知椭圆左、右焦点分别为,短轴的两个端点分别为,点在椭圆上,且满足,当变化时,给出下列四个命题:①点的轨迹关于轴对称;②存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个;③的最小值为2;④最大值为,其中正确命题的序号是______.

【答案】①③

【解析】

利用椭圆的定义先求解的轨迹,即可判定①正确,②不正确;结合轨迹方程进行验证,可得③正确,④不正确.

由题意,点在椭圆上,

所以

所以点也在以为焦点的椭圆上,

所以点为椭圆与椭圆的交点,共4个,故①正确,②错误;

靠近坐标轴时(),越大,点远离坐标轴时,越小,易得时,取得最小值,此时 ,两方程相加得,即的最小值为2,③正确;椭圆上的点到中心的距离小于等于,由于点不在坐标轴上,所以,④错误.

故答案为:①③.

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