题目内容
【题目】已知椭圆
：
左、右焦点分别为
，
，短轴的两个端点分别为
，
，点
在椭圆上，且满足
，当
变化时，给出下列四个命题：①点的轨迹关于
轴对称；②存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个；③
的最小值为2；④最大值为
，其中正确命题的序号是______.
【答案】①③
【解析】
利用椭圆的定义先求解
的轨迹，即可判定①正确，②不正确；结合轨迹方程进行验证，可得③正确，④不正确.
由题意，点在椭圆
：
上，
所以
，
所以点也在以
为焦点的椭圆
上，
所以点为椭圆：
与椭圆的交点，共4个，故①正确，②错误；
点靠近坐标轴时（
或
），
越大，点远离坐标轴时，越小，易得
时，取得最小值，此时：
， 
，两方程相加得
，即的最小值为2，③正确；椭圆上的点到中心的距离小于等于
，由于点不在坐标轴上，所以
，④错误.
故答案为：①③.
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