题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)记函数的图象为曲线
.设点
,
是曲线
上的不同两点.如果在曲线
上存在点
,使得:①
;②曲线
在点
处的切线平行于直线
,则称函数
存在“中值相依切线”.试问:函数
是否存在“中值相依切线”,请说明理由.
【答案】(I)当时, 函数
在
和
上单调递增,在
上单调递减,当
时, 函数
在
上单调递增,当
时, 函数
在
和
上单调递增,在
上单调递减;(II)不存在,理由见解析.
【解析】
试题分析:(I)求导得,按照两根大小来分类讨论,从而得到单调区间;(II)先假设存在,求出
,求出
,由此化简得
,令
换元后化简得
,用导数证明不存在
使上式成立.
试题解析:
(Ⅰ)易知函数的定义域是
,
①当时,即
时, 令
,解得
或
;
令,解得
所以,函数在
和
上单调递增,在
上单调递减
②当时,即
时, 显然,函数
在
上单调递增;
③当时,即
时, 令
,解得
或
;
令,解得
.
所以,函数在
和
上单调递增,在
上单调递减
综上所述,
⑴当时, 函数
在
和
上单调递增,在
上单调递减;
⑵当时, 函数
在
上单调递增;
⑶当时, 函数
在
和
上单调递增,在
上单调递减
(Ⅱ)假设函数存在“中值相依切线”.
设,
是曲线
上的不同两点,且
,
则
曲线在点处的切线斜率
,
依题意得:.
化简可得:,即
.
设(
),上式化为:
, 即
.
令,
.
因为,显然
,所以
在
上递增,显然有
恒成立.
所以在内不存在
,使得
成立.
综上所述,假设不成立.所以,函数不存在“中值相依切线”
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