题目内容

10．已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1，求证：$\sqrt{4a+1}$+$\sqrt{4b+1}$+$\sqrt{4c+1}$≤$\sqrt{21}$．

分析 由a、b、c∈R+，且a+b+c=1，运用柯西不等式可得（1•$\sqrt{4a+1}$+1•$\sqrt{4b+1}$+1•$\sqrt{4c+1}$）2≤（12+12+12）（4a+1+4b+1+4c+1），化简整理，即可得证．

解答 证明：由a、b、c∈R+，且a+b+c=1，
运用柯西不等式可得（1•$\sqrt{4a+1}$+1•$\sqrt{4b+1}$+1•$\sqrt{4c+1}$）2
≤（12+12+12）（4a+1+4b+1+4c+1）
=3×（4+3）=21，
当且仅当a=b=c=$\frac{1}{3}$，取得等号．
即有$\sqrt{4a+1}$+$\sqrt{4b+1}$+$\sqrt{4c+1}$≤$\sqrt{21}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查柯西不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．

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