Question

5．下面四个命题：
①已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}\;，x≥0\;\\ \sqrt{-x}\;，x＜0\;\end{array}\right.$且f（a）+f（4）=4，那么a=-4；
②要得到函数$y=sin（{2x+\frac{π}{3}}）$的图象，只要将y=sin2x的图象向左平移$\frac{π}{3}$单位；
③若定义在（-∞，+∞）上的函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），则f（x）是周期函数；
④已知奇函数f（x）在（0，+∞）为增函数，且f（-1）=0，则不等式f（x）＜0解集{x|x＜-1}．
其中正确的是③．

Answer 1

分析 ①已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}\;，x≥0\;\\ \sqrt{-x}\;，x＜0\;\end{array}\right.$，分a＜0，a＞0，利用f（a）+f（4）=4，即可求出a；
②要得到函数$y=sin（{2x+\frac{π}{3}}）$的图象，只要将y=sin2x的图象向左平移$\frac{π}{6}$单位；
③利用f（x）满足f（x+1）=-f（x），可得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），所以f（x）是以2为周期的周期函数；④已知奇函数f（x）在（0，+∞）为增函数，且f（-1）=0，则f（1）=0，在（-∞，0）为增函数，即可解不等式f（x）＜0．

解答 解：①已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}\;，x≥0\;\\ \sqrt{-x}\;，x＜0\;\end{array}\right.$，a＜0时，f（a）+f（4）=4，那么a=-4；a＞0时，f（a）+f（4）=4，那么a=4，故不正确；
②要得到函数$y=sin（{2x+\frac{π}{3}}）$的图象，只要将y=sin2x的图象向左平移$\frac{π}{6}$单位，故不正确；
③若定义在（-∞，+∞）上的函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），则f（x+2）=-f（x+1）=f（x），所以f（x）是周期函数，周期为2；
④已知奇函数f（x）在（0，+∞）为增函数，且f（-1）=0，则f（1）=0，在（-∞，0）为增函数，不等式f（x）＜0等价于f（x）＜f（-1）或f（x）＜f（1），
解集{x|x＜-1}∪{x|0＜x＜1}，故不正确．
故答案为：③．

点评 本题考查命题的真假的判断，考查分段函数，函数的图象变换，周期性，奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．