Question

【题目】已知函数（且），

（1）讨论的奇偶性与单调性；

（2）求的反函数；

（3）若，解关于x的不等式．

Answer 1

【答案】(1)奇函数，当时，单调递增，当时，单调递减；(2)；(3)见解析.

【解析】

(1)根据函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性；再根据函数单调性的定义并对底数分类讨论，可判断出在上的单调性；

(2)根据反函数的求法直接求解即可；

(3)根据可求出的值，进而可求出的值域，然后对分类讨论即可求出不等式的解集.

(1)由，解得，所以函数的定义域为，关于原点对称.

因为，

所以函数是奇函数.

对任意的，且，则

，

因为，

所以，所以，

①当时，，所以，即，

此时函数是上的单调减函数；

②当时，，所以所以，即，

此时函数是上的单调增函数.

(2)令，

所以，

所以，所以.

(3)因为，即，解得，

所以，所以，

所以当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.