题目内容
【题目】已知.
(1)当时,求证:
在
上单调递减;
(2)若对任意,
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)求得导数,结合指数函数与余弦函数的性质,求得
,即可得到结论.
(2)当时,可得命题成立,当
时,设
,求得
,求得函数
的单调性,得到
,分类讨论,即可求解.
(1)由题意,函数,可得
,
由时,则
,
当时,
,所以
,
所以在
上单调递减.
(2)当时,
,对于
,命题成立,
当时,由(1)
,
设,则
,
因为,所以
,
在
上单调递增,
又, 所以
,
所以在
上单调递增,且
,
①当时,
,所以
在
上单调递增,
因为,所以
恒成立;
②当时,
,因为
在
上单调递增,
又当时,
,
所以存在,对于
,
恒成立.
所以在
上单调递减,所以当
时,
,不合题意.
综上,当时,对于
,
恒成立.
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