题目内容
【题目】已知
.
（1）当
时，求证：
在
上单调递减；
（2）若对任意
，
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）求得导数
，结合指数函数与余弦函数的性质，求得
，即可得到结论.
（2）当
时，可得命题成立，当
时，设
，求得
，求得函数
的单调性，得到
，分类讨论，即可求解.
（1）由题意，函数
，可得
，
由
时，则，
当
时，
，所以
，
所以
在
上单调递减.
（2）当时，
，对于
，命题成立，
当时，由（1），
设，则
，
因为
，所以
，在
上单调递增，
又
， 所以
，
所以
在上单调递增，且，
①当时，
，所以在上单调递增，
因为
，所以
恒成立；
②当
时，
，因为在
上单调递增，
又当
时，
，
所以存在
，对于
，恒成立.
所以在
上单调递减，所以当时，
，不合题意.
综上，当时，对于
，
恒成立.
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