Question

4．已知a，b都是正实数，且直线2x-（b-3）y+6=0与直线bx+ay-5=0互相垂直，则2a+3b的最小值为（　　）

• A． 12
• B． 10
• C． 8
• D． 25

Answer 1

分析 由直线垂直可得ab的式子，变形可得$\frac{2}{a}$+$\frac{3}{b}$=1，进而可得2a+3b=（2a+3b）（$\frac{2}{a}$+$\frac{3}{b}$）=13+$\frac{6b}{a}$+$\frac{6a}{b}$，由基本不等式求最值可得．

解答 解：∵a，b都是正实数，且直线2x-（b-3）y+6=0与直线bx+ay-5=0互相垂直，
∴2b-（b-3）a=0，变形可得3a+2b=ab，两边同除以ab可得$\frac{2}{a}$+$\frac{3}{b}$=1，
∵a，b都是正实数，
∴2a+3b=（2a+3b）（$\frac{2}{a}$+$\frac{3}{b}$）=13+$\frac{6b}{a}$+$\frac{6a}{b}$≥13+2$\sqrt{\frac{6b}{a}•\frac{6a}{b}}$=25，
当且仅当$\frac{6b}{a}$=$\frac{6a}{b}$即a=b=5时，上式取到最小值25，
故选：D．

点评 本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及基本不等式求最值，属中档题．