Question

【题目】如图所示，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，SA=SC=，M，N分别为AB，SB的中点.

（1）求证：AC⊥SB；

（2）求二面角N－CM－B的余弦值；

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）取，中点，连接，，由题意可得，，再由线面垂直的判定可得平面，进一步得到；

（2）如图以为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出，，，，，的坐标，得到平面与平面的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．

解：（1）证明：取，中点，连接，，由题意可得，，

又，平面，平面

平面，

又平面

所以；

（2）解：如图以为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

则，0，，，，，，0，，，0，，，，，，，，

由已知条件易得平面的法向量为，设面的法向量为，

，．

由，取，得，

设为所求角，则．

二面角的余弦值为．