题目内容

【题目】在平面直角坐标系中,已知圆,圆 ,且).

(1)设为坐标轴上的点,满足:过点P分别作圆与圆的一条切线,切点分别为,使得,试求出所有满足条件的点的坐标;

(2)若斜率为正数的直线平分圆,求证:直线与圆总相交.

【答案】(1)(2)见解析

【解析】

分析:(1)设点的坐标为,根据切线长定理可得,又为坐标轴上的点,由此可得所求.(2)由题意可设直线的方程为,即.问题等价于圆心到直线的距离小于半径,即 分析可得可得从而得结论成立

详解:(1)设点的坐标为,圆与圆的半径分别为

由题意得

化简得

因为为坐标轴上的点,

所以点的坐标为.

(2)依题意知直线过圆的圆心,可设直线的方程为,即

则圆心到直线的距离为

又圆的半径为

“直线与圆总相交”等价于 ”,

①,

,整理得

时,得

时,由判别式

解得

综上得的最小值为1,

所以由①可得,解得

故直线与圆总相交.

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