Question

9．已知3^x=4^y=6^z．
（1）若z=1，求（x-1）（2y-1）的值；
（2）若x，y，z为正数，求证：$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{2}{z}$．

Answer 1

分析 （1）把z=1代入3^x=4^y=6^z，求得x，y的值，代入（x-1）（2y-1）后利用对数的运算性质化简得答案；
（2）令3^x=4^y=6^z=t，然后把x，y，z用含有t的代数式表示，分别代入要证明的等式左右两边化简得答案．

解答 （1）解：若z=1，则3^x=4^y=6^z=6，
∴x=log₃6，y=log₄6，
则（x-1）（2y-1）=（log₃6-1）（2log₄6-1）
=$lo{g}_{3}2•lo{g}_{2}3=\frac{lg2}{lg3}•\frac{lg3}{lg2}=1$；
（2）证明：令3^x=4^y=6^z=t，
则x=log₃t，y=log₄t，z=log₆t，
∴$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{2}{lo{g}_{3}t}+\frac{1}{lo{g}_{4}t}=2lo{g}_{t}3+lo{g}_{t}4=2lo{g}_{t}6$，
$\frac{2}{z}$=$\frac{2}{lo{g}_{6}t}=2lo{g}_{t}6$，
∴$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{2}{z}$．

点评 本题考查对数的运算性质，考查了指数式和对数式的互化，是基础的计算题．