Question

14．求下列函数的周期和最大值、最小值：
（1）y=1+sin²x；
（2）y=2sinx-3cosx；
（3）y=cos²x-cos⁴x；
（4）y=cos⁴x-sin⁴x．

Answer 1

分析 先由条件利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用三角函数的周期性、最值得出结论．

解答 解：（1）∵y=1+sin²x=1+$\frac{1-cos2x}{2}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2x，
∴它的周期为$\frac{2π}{2}$=π，最大值为$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$=2，最小值为$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$=1．
（2）∵y=2sinx-3cosx=$\sqrt{13}$sin（x+α），其中cosα=$\frac{2}{\sqrt{13}}$，sinα=$\frac{-3}{\sqrt{13}}$，
∴它的周期为2π，最大值为$\sqrt{13}$，最小值为-$\sqrt{13}$．
（3）y=cos²x-cos⁴x=cos²x（1-cos²x）=cos²x•sin²x=$\frac{1}{4}$sin²2x=$\frac{1+cos4x}{8}$，
故它的周期为$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$，最大值为$\frac{2}{8}$=$\frac{1}{4}$，最小值为0．
（4）y=cos⁴x-sin⁴x=cos²x-sin²x=cos2x，
故它的周期为$\frac{2π}{2}$=π，最大值为1，最小值为-1．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性、最值，属于中档题．