Question

19．在锐角三角形ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，已知（b²+c²-a²）tanA=$\sqrt{3}$bc
（1）求角A的大小，
（2）若f（B）=sinBcosB-$\sqrt{3}{cos^2}B+\sqrt{3}$，求f（B）范围．

Answer 1

分析 （1）已知（b²+c²-a²）tanA=$\sqrt{3}$bc，由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2tanA}$化简整理即可得出；
（2）利用倍角公式、和差公式可得：f（B）=$sin（2B-\frac{π}{3}）$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0＜$C=\frac{2π}{3}-B＜\frac{π}{2}$，$0＜B＜\frac{π}{2}$，可得$\frac{π}{6}＜B＜\frac{π}{2}$，$（2B-\frac{π}{3}）$∈$（0，\frac{2π}{3}）$．因此$sin（2B-\frac{π}{3}）$∈（0，1]，即可得出．

解答 解：（1）∵（b²+c²-a²）tanA=$\sqrt{3}$bc，∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2tanA}$，∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∵A∈$（0，\frac{π}{2}）$，∴$A=\frac{π}{3}$．
（2）∵f（B）=sinBcosB-$\sqrt{3}{cos^2}B+\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}sin2B-\sqrt{3}×\frac{1+cosB}{2}$+$\sqrt{3}$=$sin（2B-\frac{π}{3}）$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜$C=\frac{2π}{3}-B＜\frac{π}{2}$，$0＜B＜\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{6}＜B＜\frac{π}{2}$，∴$（2B-\frac{π}{3}）$∈$（0，\frac{2π}{3}）$．
∴$sin（2B-\frac{π}{3}）$∈（0，1]，
∴f（B）∈$（\frac{\sqrt{3}}{2}，1+\frac{\sqrt{3}}{2}]$．

点评 本题考查了余弦定理的应用、和差公式、倍角公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．