Question

【题目】以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为方程为（），直线的参数方程为（为参数）．

（1）点在曲线上，且曲线在点处的切线与直线垂直，求点的直角坐标和曲线C的参数方程；

（2）设直线与曲线有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），曲线的参数方程为（为参数，）；（2）.

【解析】

（1）由，结合可得曲线的直角坐标方程为，从而得曲线的参数方程，点坐标为，分析切线的斜率即可得，从而得D点的坐标；
（2）由题意可知直线：与半圆，有两个交点，找到临界位置即可得直线的斜率范围.

（1）由得曲线的直角坐标方程为，

所以曲线的参数方程为（为参数，），设点坐标为，

由已知得是以为圆心，为半径的上半圆，

因为在点处的切线与垂直，所以直线与直线的斜率相同，，

故点的直角坐标为.

（2）设直线：与半圆相切时

∴，∴，（舍去）

设点，，

故直线的斜率的取值范围为.