题目内容
【题目】已知函数
在
处取得极小值10，则
的值为__________．
【答案】-2
【解析】∵f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a，
∴f′（x）=3x2+2ax+b，
又f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极小值10，
∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b﹣a2﹣7a=10，
∴a2+8a+12=0，
∴a=﹣2，b=1或a=﹣6，b=9．
当a=﹣2，b=1时，f′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），
当
＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意符合；
当a=﹣6，b=9时，f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）
当x＜1时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0，
∴f（x）在x=1处取得极大值，与题意不符；
∴
=﹣2，
故答案为：﹣2．
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