Question

【题目】已知函数f（x）=（x+1）e2x ， g（x）=aln（x+1）+ x2+（3﹣a）x+a（a∈R）．
（1）当a=9，求函数y=g（x）的单调区间；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=9时，g（x）=9ln（x+1）+ x2﹣6x+9，

g′（x）= ，（x＞﹣1），

由g′（x）＞0，解得：﹣1＜x＜1或x＞2，

由g′（x）＜0，解得：1＜x＜2，

∴g（x）在（﹣1，1）递增，在（1，2）递减，在（2，+∞）递增

（2）解：由f（x）≥g（x），得：（x+1）e2x≥aln（x+1）+ x2+（3﹣a）x+a，

令h（x）=（x+1）e2x﹣aln（x+1）﹣ x2﹣（3﹣a）x﹣a，

①a≥0时，h′（x）=（2x+3）e2x﹣ ﹣ x+（a﹣3），

1°，x=0时，h′（x）=0，

2°，x∈（﹣1，0）时，h′（x）＜（2x+3）e2x﹣ ﹣2x+（a﹣3）=（2x+3）（e2x﹣1）+a（1﹣ ）＜0，

3°，x∈（0，+∞）时，h′（x）＞（2x+3）e2x﹣ ﹣2x+（a﹣3）=（2x+3）（e2x﹣1）+a（1﹣ ）＞0，

∴h（x）在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增，

∴h（x）的最小值是h（0）=1﹣a，

则 ，解得：0≤a≤1；

②a＜0时，x∈（﹣1，0）时，f（x）∈（0，1），即f（x）＜1，

而对于函数g（x），不妨令x=﹣1+ ，

有g（x）=aln（x+1）+ x2+（3﹣a）x+a＞aln（x+1）+2a﹣3=aln（﹣1+ +1）+2a﹣3=1，

故在（﹣1，0）内存在﹣1+ ，使得g（x）＞f（x），f（x）≥g（x）b不恒成立，

综上，a的范围是[0，1]

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）令h（x）=（x+1）e2x﹣aln（x+1）﹣ x2﹣（3﹣a）x﹣a，通过讨论a的范围，求出函数的导数，结合函数的单调性求出a的具体范围即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)，还要掌握函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)的相关知识才是答题的关键．