题目内容
【题目】设是
上的奇函数,且当
时,
,
.
(1)若,求
的解析式;
(2)若,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)若的值域为
,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)
;(3)
【解析】
(1)根据求出参数,利用奇函数的定义
可求出当
时函数的解析式,由
是
上的奇函数可知
,即可写出函数解析式;(2)由
可知当
时,
,即可判断函数
在
上单调递增,由奇函数在对称的区间上单调性一致可知
在
上单调递增, 利用函数的单调性与奇偶性将
符号脱掉,转化为恒成立问题,即可求解;(3)首先使
对
都有意义,由奇函数的图象与性质可知,要使
的值域为
,则当
时,使
在第一象限及
的正半轴上都有图象,列出相应不等式即可.
(1)因为,则
,所以
.
所以当时,
,又
,故
.
(2)若,则
在
上单调递增,故
等价于
,令
,
于是在
恒成立,
设,
①当时,则
,于是
,
②当时,则
,得
,
综上,.
(3)设,
首先对
恒成立,
可得对
恒成立,
故.
由题意知,若函数的值域为
,
只需在
上有解,即
有解,
故有,
所以:.
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