Question

【题目】已知，函数（是自然对数的底数）.

（1）若有最小值，求的取值范围，并求出的最小值；

（2）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）的取值范围是，此时的最小值为.

（2）.

【解析】

（1）导函数为,对a分类讨论，明确函数的单调性，从而得到函数的最值；（2）设.由恒成立，即恒成立，研究函数单调性，求其最小值即可.

（1），其导函数为

①当时，对有，在上是函数，没有最小值；

②当时，由得.当时，，在区间上是减函数，当时，，在区间上是增函数.所以的最小值为，所以的取值范围是，此时的最小值为.

（2）设.

由恒成立，即恒成立

①当，则当时，，而，不可能有恒成立；

②当，，设，则

在上增函数

又，所以在上，，是减函数，在区间上，，是增函数，最小值为.

所以恒成立

综上所述，实数的取值范围是.