题目内容
【题目】已知,函数
(
是自然对数的底数).
(1)若有最小值,求
的取值范围,并求出
的最小值;
(2)若对任意实数,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)的取值范围是
,此时
的最小值为
.
(2).
【解析】
(1)导函数为,对a分类讨论,明确函数的单调性,从而得到函数的最值;(2)设
.由
恒成立,即
恒成立,研究函数
单调性,求其最小值即可.
(1),其导函数为
①当时,对
有
,
在
上是函数,
没有最小值;
②当时,由
得
.当
时,
,
在区间
上是减函数,当
时,
,
在区间
上是增函数.所以
的最小值为
,所以
的取值范围是
,此时
的最小值为
.
(2)设.
由恒成立,即
恒成立
①当,则当
时,
,而
,不可能有
恒成立;
②当,
,设
,则
在
上增函数
又,所以在
上,
,
是减函数,在区间
上,
,
是增函数,
最小值为
.
所以恒成立
综上所述,实数的取值范围是
.
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