题目内容
【题目】定义:若对定义域内任意x,都有(a为正常数),则称函数
为“a距”增函数.
(1)若,
(0,
),试判断
是否为“1距”增函数,并说明理由;
(2)若,
R是“a距”增函数,求a的取值范围;
(3)若,
(﹣1,
),其中k
R,且为“2距”增函数,求
的最小值.
【答案】(1)见解析; (2); (3)
.
【解析】
(1)利用“1距”增函数的定义证明即可;(2)由“a距”增函数的定义得到
在
上恒成立,求出a的取值范围即可;(3)由
为“2距”增函数可得到
在
恒成立,从而得到
恒成立,分类讨论可得到
的取值范围,再由
,可讨论出
的最小值。
(1)任意,
,
因为,
, 所以
,所以
,即
是“1距”增函数。
(2).
因为是“
距”增函数,所以
恒成立,
因为,所以
在
上恒成立,
所以,解得
,因为
,所以
.
(3)因为,
,且为“2距”增函数,
所以时,
恒成立,
即时,
恒成立,
所以,
当时,
,即
恒成立,
所以, 得
;
当时,
,
得恒成立,
所以,得
,
综上所述,得.
又,
因为,所以
,
当时,若
,
取最小值为
;
当时,若
,
取最小值.
因为在R上是单调递增函数,
所以当,
的最小值为
;当
时
的最小值为
,
即 .
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