Question

【题目】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A、B的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：x2+y2＝1和点，点B（1，1），M为圆O上动点，则2|MA|+|MB|的最小值为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

由题意，取点K（﹣2，0），连接OM、MK．由△MOK∽△AOM，可得，推出MK＝2MA，在△MBK中，MB+MK≥BK，推出2|MA|+|MB|＝|MB|+|MK|的最小值为BK的长．

如图所示，取点K（﹣2，0），连接OM、MK．

∵OM＝1，OA＝，OK＝2，∴，

∵∠MOK＝∠AOM，∴△MOK∽△AOM，∴，∴MK＝2MA，

∴|MB|+2|MA|＝|MB|+|MK|，

在△MBK中，|MB|+|MK|≥|BK|，

∴|MB|+2|MA|＝|MB|+|MK|的最小值为|BK|的长，

∵B（1，1），K（﹣2，0），∴|BK|＝.

故答案为：．