题目内容
已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（
）-x]=2，则不等式f（x）＞2x的解集为 ．
| 1 |
| x |
考点：函数单调性的判断与证明
专题：函数的性质及应用
分析：首先，根据函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（
）-x]=2，得到f（
）-x为一个常数，令这个常数为n，则f（
）-x=n，f（n）=2，
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
解答：
解：根据题意，得
若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（
）-x]=2，
得到f（
）-x为一个常数，
以t换
，得
f（t）-
=n，
则f（t）-
=n，f（n）=2，
∴f（t）=
+n，
∴f（n）=
+n=2，
∴n=1，
∵f（x）＞2x等价于
1+
＞2x，
∴-
＜x＜1，而定义域为（0，+∞）
∴{x|0＜x＜1}，
故答案为：{x|0＜x＜1}，
若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（
| 1 |
| x |
得到f（
| 1 |
| x |
以t换
| 1 |
| x |
f（t）-
| 1 |
| t |
则f（t）-
| 1 |
| t |
∴f（t）=
| 1 |
| t |
∴f（n）=
| 1 |
| n |
∴n=1，
∵f（x）＞2x等价于
1+
| 1 |
| x |
∴-
| 1 |
| 2 |
∴{x|0＜x＜1}，
故答案为：{x|0＜x＜1}，
点评：本题考查的知识点是函数的值，函数解析式的求法，其中抽象函数解析式的求法，要注意对已知条件及未知条件的凑配思想的应用．
练习册系列答案
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