Question

【题目】已知f（x）=lnx﹣ax+1，其中a为常实数．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a=1时，求证：f（x）≤0；
（3）当n≥2，且n∈N*时，求证： ＜2．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定义域是（0，+∞），

f′（x）= ﹣a，

a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，

a＞0时，令f′（x）=0，解得：x= ，

故f（x）在（0， ）递增，在（ ，+∞）递减

（2）解：a=1时，由（1）f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，

故f（x）max=f（1）=0，故f（x）≤0

（3）解：由（2）得：n≥2且n∈N*时，lnn＜n﹣1，

于是 + + +…+ ＜ + + +…+ ，

令S= + + +…+ ①，

则 S= + +…+ + ②，

错位相减得：S=2﹣ ，则S＜2，

故 ＜ + + +…+ ＜2

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出f（x）的最大值，从而证明结论；（3）根据lnn＜n﹣1通过赋值，得到S= + + +…+ ，求出 S，错位相减证明结论即可．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减即可以解答此题．