题目内容
【题目】已知函数
.
（1）讨论
在
极值点个数；
（2）证明：不等式
在
恒成立.
附：
.
【答案】（1）有两个极值点（2）证明见解析；
【解析】
（1）求出函数的导函数，分
，
以及
，判断函数的单调性，进而得出极值点情况；
（2）分
，
，结合零点存在性定理以及放缩思想得证．
解：（1）由
，求导数
，设
①在时，则
，知
在
递减，
存在
使得
在
时，
，在
时，
为
的极大值点.
②在时，
有
在
上恒成立，在上递减
此时无极值.
③在时，
，在
上恒成立.
在上递增，
因此存在唯一
，使得
在
时，
，在
时，
为极小值点.
综合讨论在
有两个极值点.
（2）令
，则
①若
时，
，而
所以，在
递减，
所以
②若，，
，
当时，，则
在递增，
所以存在唯一
使得
，
当
时，
递减；当
时，
递增，
故
下面证明：
在上恒成立
记
，
则
，所以
在递增，
于是
，
从而可知
，
综合①②可知
在
上恒成立.
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