题目内容
【题目】已知函数是奇函数.
(1)求实数的值;
(2)若,对任意
有
恒成立,求实数
取值范围;
(3)设,若
,问是否存在实数
使函数
在
上的最大值为
?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1) (2)
(3)不存在,理由见解析.
【解析】
(1)根据定义域为R且为奇函数可知, 代入即可求得实数
的值.
(2)由(1)可得函数的解析式,并判断出单调性.根据
将不等式转化为关于
的不等式,结合
时不等式恒成立,即可求得实数
取值范围;
(3)先用表示函数
.根据
求得
的解析式,根据单调性利用换元法求得
的值域.结合对数的定义域,即可求得
的取值范围.根据对数型复合函数的单调性,即可判断在
的取值范围内能否取到最大值0.
(1)函数的定义域为R,且为奇函数
所以,即
解得
(2)由(1)可知当时,
因为,即
解不等式可得
所以在R上单调递减,且
所以不等式可转化为
根据函数在R上单调递减
所不等式可化为
即不等式在
恒成立
所以恒成立
化简可得
由打勾函数的图像可知,当时,
所以
(3)不存在实数.理由如下:
因为
代入可得,解得
或
(舍)
则,
令,易知
在R上为单调递增函数
所以当时,
,
则
根据对数定义域的要求,所以满足
在
上恒成立
即在
上恒成立
令,
所以,即
又因为
所以
对于二次函数,开口向上,对称轴为
因为
所以
所以对称轴一直位于的左侧,即二次函数
在
内单调递增
所以,
假设存在满足条件的实数,则:
当时, 由复合函数单调性的判断方法,可知
为减函数,所以根据
可知
,即
解得,所以舍去
当时, 复合函数单调性的判断方法可知
为增函数,所以根据
可知
,即
解得,所以舍去
综上所述,不存在实数满足条件成立.
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