题目内容

【题目】已知函数

(1)求的单调区间;

(2)若,存在,使得,求实数的取值范围.

【答案】(1)见解析 (2) .

【解析】

(1)根据的不同取值,结合绝对值的性质,分类讨论求出函数的单调区间;

(2) 求出二次函数的对称轴,根据对称轴和所给的区间的位置进行分类讨论,即可求出实数的取值范围.

(1), ,因此函数在上单调递增,上单调递减;

, ,

在区间上单调递增,在区间上单调递减;

, ,

在区间上单调递增,在区间上单调递减;

(2)二次函数的对称轴为:.

①当,二次函数是单调减函数,因此有:

,

所以一元二次方程在区间上有两不等根,则有

②当,二次函数是单调增函数,因此有:

,所以可以看成一元二次方程两根,,有

③当, ,所以由

函数的最大值是中的一个值, .

①若,,此时,所以

(i),

(ii),(舍):

②若,,此时,

因此有,

根据

综上所述:实数的取值范围是.

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