题目内容

一动圆过定点P（0，1），且与定直线l：y=-1相切．
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）若（1）中的轨迹上两动点记为A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x2=-16．
①求证：直线AB过一定点，并求该定点坐标；
②求|PA|+|PB|的取值范围．
（1）∵动圆过定点P（0，1），且与定直线y=-1相切，
∴圆心到定点P（0，1），及定直线y=-1的距离相等
∴圆心轨迹M是以P（0，1）为焦点，直线y=-1为准线的抛物线，
∴动圆圆心C的轨迹方程是x2=4y；
（2）②证明：设直线AB方程为：y=kx+b，
代入抛物线方程，消去y得：x2-4kx-4b=0．
∴x1+x2=4k，x1x2=-4b．
∵x1x2=-16，∴b=4．
∴直线AB过定点（0，4）；
②由抛物线定义知：|PA|=y1+1，|PB|=y2+1，
又y1=kx1+4，y2=kx2+4，x1+x2=4k，x1x2=-16．
∴|PA|+|PB|=k（x1+x2）+10=4k2+10≥10（等号当k=0时成立），
∴所求|PA|+|PB|的取值范围是[10，+∞）．
练习册系列答案
相关题目
如图，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的顶点为A1，A2，B1，B2，焦点为F1，F2，|A1B2|=
7
，S?A1B1A2B2=2S?B1F1B2F2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线m过Q（1，1），且与椭圆相交于M，N两点，当Q是MN的中点时，求直线m的方程．
（Ⅲ）设n为过原点的直线，l是与n垂直相交于P点且与椭圆相交于两点A，B的直线，|
OP
|=1，是否存在上述直线l使以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
曲线y=x2上的点到直线2x+y+4=0的最短距离是（　　）
A．
5
5
B．
2
5
5
C．
3
5
5
D．
5
某圆锥曲线有下列信息：
①曲线是轴对称图形，且两坐标轴都是对称轴；
②焦点在x轴上且焦点到坐标原点的距离为1；
③曲线与坐标轴的交点不是两个；
④曲线过点A（1，
3
2
）．
（1）判断该圆锥曲线的类型并求曲线的方程；
（2）点F是改圆锥曲线的焦点，点F′是F关于坐标原点O的对称点，点P为曲线上的动点，探求以|PF|以及|PF|•|PF′|的取值范围．
已知k∈R，当k的取值变化时，关于x，y的方程4kx-4y=4-k2的直线有无数条，这无数条直线形成了一个直线系，记集合M={（x，y）|4kx-4y=4-k2仅有唯一直线}．
（1）求M中点（x，y）的轨迹方程；
（2）设P={（x，y）|y=2x+a，a为常数}，任取C∈M，D∈P，如果|CD|的最小值为
5
，求a的值．
已知抛物线C：x2=2py（p＞0）上一点A（m，4）到其焦点F的距离为
17
4
．
（1）求P与m的值；
（2）若直线l过焦点F交抛物线于P，Q两点，且|PQ|=5，求直线l的方程．
已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x2+y2=1上．
（1）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；
（2）过点F的直线交抛物线C1于A，B两不同点，交y轴于点N，已知
NA
=λ1
AF
，
NB
=λ2
BF
，则λ1+λ2是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
1
2
，短轴长为2
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）从定点M（0，2）任作直线l与椭圆C交于两个不同的点A、B，记线段AB的中点为P，试求点P的轨迹方程．
已知椭圆
x2
2
+
y2
4
=1两焦点分别为F1、F2，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足
PF1
•
PF2
=1，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点．
（1）求P点坐标；
（2）求证：直线AB的斜率为定值；
（3）求△PAB面积的最大值．

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