题目内容

如图,两个工厂A、B相距2km,点O为AB的中点,要在以O为圆心,2km为半径的圆弧MN上的某一点P处建一幢办公楼,其中MA⊥AB,NB⊥AB.据测算此办公楼受工厂A的“噪音影响度”与距离AP的平方成反比,比例系数为1;办公楼受工厂B的“噪音影响度”与距离BP的平方也成反比,比例系数为4,办公楼与A、B两厂的“总噪音影响度”y是A、B两厂“噪音影响度”的和,设AP为xkm.
 
(1)求“总噪音影响度”y关于x的函数关系式,并求出该函数的定义域;
(2)当AP为多少时,“总噪音影响度”最小?
(1)y=(≤x≤)(2)AP=km
(1)(解法1)如图,连结OP,

设∠AOP=α,则≤α≤.
在△AOP中,由余弦定理得x2=12+22-2×1×2cosα=5-4cosα,
在△BOP中,由余弦定理得BP2=12+22-2×1×2cos(π-α)=5+4cosα,
∴BP2=10-x2,∴y=.
≤α≤,∴≤x≤,∴y=(≤x≤).

(解法2)建立如图所示的直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),设P(m,n),则PA2=(m+1)2+n2,PB2=(m-1)2+n2.
∵m2+n2=4,PA=x,
∴PB2=10-x2(后面解法过程同解法1).
(2)(解法1)y=[x2+(10-x2)]
(5+)≥(5+2)=
当且仅当,即x=∈[]时取等号.
故当AP=km时,“总噪音影响度”最小.
(解法2)由y=,得
y′=-.
≤x≤,∴令y′=0,得x=,且当x∈时,y′<0;当x∈(]时,y′>0.∴x=时,y=取极小值,也即最小值.故当AP=km时,“总噪音影响度”最小
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