Question

9．已知函数f（x）=Asin（ωx+$\frac{π}{4}$）（A＞0，ω＞0），g（x）=tanx，它们的最小正周期之积为2π²，f（x）的最大值为2g（$\frac{17π}{4}$）
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）设h（x）=$\frac{3}{2}$[f²（x）-2]+2$\sqrt{3}$cos²x，求h（x）的最大值，并写出取得最大值自变量x的集合．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数、正切函数的周期性求得ω的值，f（x）=Asin（x+$\frac{π}{4}$）．再根据f（x）的最大值为2g（$\frac{17π}{4}$）可得A的值，从而得到f（x）=2sin（x+$\frac{π}{4}$）．再利用正弦函数的增区间求得f（x）的单调递增区间．
（2）化简h（x）的解析式为h（x）=2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，再利用正弦函数的定义域和值域求得h（x）取得最大值以及取得最大值自变量x的集合．

解答 解：（1）由于函数f（x）=Asin（ωx+$\frac{π}{4}$）（A＞0，ω＞0）的最小正周期为$\frac{2π}{ω}$，g（x）=tanx的最小正周期为π，
故它们的最小正周期之积为$\frac{2π}{ω}$•π=2π²，∴ω=1，f（x）=Asin（x+$\frac{π}{4}$）．
再根据f（x）的最大值为A=2g（$\frac{17π}{4}$）=2tan$\frac{17π}{4}$=2tan$\frac{π}{4}$=2，可得f（x）=2sin（x+$\frac{π}{4}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得2kπ-$\frac{3π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{4}$，故f（x）的单调递增区间为[得2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈z．
（2）h（x）=$\frac{3}{2}$[f²（x）-2]+2$\sqrt{3}$cos²x=$\frac{3}{2}$[4${sin}^{2}（x+\frac{π}{4}）$-2]+2$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos2x}{2}$=6×$\frac{1-cos（2x+\frac{π}{2}）}{2}$-3+$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$cos2x
=2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）+$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，
故当2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，即x∈{x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈z}时，h（x）取得最大值为2$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查正弦函数、正切函数的周期性，正弦函数的增区间，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．