题目内容
【题目】新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于
份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验次．二是混合检验，将其中
份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时份血液检验的次数总共为
次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为
．
（Ⅰ）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；
（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）选择方案三最“优”，理由见解析
【解析】
（Ⅰ）根据独立事件和对立事件概率公式可计算求得结果；
（Ⅱ）确定方案二和方案三检验次数所有可能的取值，并求得每个取值对应的概率，进而得到分布列，由数学期望的计算公式计算得到期望，与方案一的期望
进行比较，得到最优方案.
（Ⅰ）该混合样本阴性的概率为：
，
根据对立事件原理，阳性的概率为：
．
（Ⅱ）方案一：逐个检验，检验次数为．
方案二：由（Ⅰ）知，每组
个样本检验时，若阴性则检验次数为
，概率为
；
若阳性则检验次数为
，概率为，
设方案二的检验次数记为
，则的可能取值为
，
；
；
，
则的分布列如下：
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可求得方案二的期望为
．
方案三：混在一起检验，设方案三的检验次数记为
，的可能取值为，
，
，
，
则的分布列如下：
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可求得方案三的期望为
．
比较可得
，故选择方案三最“优”．
【题目】已知某校6个学生的数学和物理成绩如下表：
学生的编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
数学 | 89 | 87 | 79 | 81 | 78 | 90 |
物理 | 79 | 75 | 77 | 73 | 72 | 74 |
（1）若在本次考试中，规定数学在80分以上（包括80分）且物理在75分以上（包括75分）的学生为理科小能手.从这6个学生中抽出2个学生，设
表示理科小能手的人数，求的分布列和数学期望；
（2）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系，在上述表格是正确的前提下，用
表示数学成绩，用
表示物理成绩，求与的回归方程.
参考数据和公式：
，其中
，
.
