题目内容
【题目】如图,三棱台中,
,
.
(1)证明:;
(2)若,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)过作
交
于点
,连接
,易证得
,进而得到
,得到
,即
,由线面垂直的判定定理得到
平面
,进而得到
;
(2)根据题意,进一步得到,建立如图空间直角坐标系,分别求得平面
的一个法向量
和平面
的一个法向量
,利用公式求得
的值,进而得到二面角
的余弦值.
(1)过作
交
于点
,连接
,
因为,所以
,
所以,所以
,
所以,即
,
因为,所以
平面
,
又因为平面
,所以
.
(2)因为,
所以,所以
,
所以,因为
,
所以,所以
.
如图,以为原点,以
的方向为
轴,
轴,
轴的正方向建立空间直角坐标系
,
易知,所以
,
所以,
设是平面
的一个法向量,
则即
取,
易知平面的一个法向量
,
则,
因为二面角为锐角,
所以二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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