题目内容
已知定点F1（-
，0），F2（
，0），动点R在曲线C上运动且保持|RF1|+|RF2|的值不变，曲线C过点T（0，1），
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）M是曲线C上一点，过点M作斜率分别为k1和k2的直线MA，MB交曲线C于A、B两点，若A、B关于原点对称，求k1•k2的值；
（Ⅲ）直线l过点F2，且与曲线C交于PQ，有如下命题p：“当直线l垂直于x轴时，△F1PQ的面积取得最大值”．判断命题p的真假．若是真命题，请给予证明；若是假命题，请说明理由．
| 3 |
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（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）M是曲线C上一点，过点M作斜率分别为k1和k2的直线MA，MB交曲线C于A、B两点，若A、B关于原点对称，求k1•k2的值；
（Ⅲ）直线l过点F2，且与曲线C交于PQ，有如下命题p：“当直线l垂直于x轴时，△F1PQ的面积取得最大值”．判断命题p的真假．若是真命题，请给予证明；若是假命题，请说明理由．
（Ⅰ）∵|RF1|+|RF2|=|TF1|+|TF2|=2
=4＞|F1F2|=2
，
∴曲线C为以原点为中心，F1、F2为焦点的椭圆，
设其半长轴为a，半短轴为b，半焦距为c，则2a=2，2c=2
，
∴a=2，c=
，b2=a2-c2=1．
∴曲线C的方程为
+y2=1；
（Ⅱ）设M（x0，y0），A（x1，y1）则B（-x1，-y1），
∵点M，A在椭圆
+y2=1上，
∴
+y02=1，
+y12=1，
相减得
+y02-y12=0，
又k1=
，k2=
，
∴k1•k2=
=-
；
（Ⅲ）设直线l的方程为x=my+
，代入椭圆方程
+y2=1，
得(4+m2)y2+2
my-1=0，计算并判断得△＞0，
设P（x3，y3），Q（x4，y4），得
，
∴|PQ|=
=
=
．
F1到直线l的距离d=
，
设t=
，则t≥1，
∴S△F1PQ=
|PQ|•d=4
×
=
=
≤2．
当t2=3，即m2=2，m=±
时，△F1PQ的面积最大．
∴原命题是假命题，△F1PQ的面积取得最大值时，直线l的方程为：
x+
y-
=0和x-
y-
=0．
(
|
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∴曲线C为以原点为中心，F1、F2为焦点的椭圆，
设其半长轴为a，半短轴为b，半焦距为c，则2a=2，2c=2
| 3 |
∴a=2，c=
| 3 |
∴曲线C的方程为
| x2 |
| 4 |
（Ⅱ）设M（x0，y0），A（x1，y1）则B（-x1，-y1），
∵点M，A在椭圆
| x2 |
| 4 |
∴
| x02 |
| 4 |
| x12 |
| 4 |
相减得
| x02-x12 |
| 4 |
又k1=
| y0-y1 |
| x0-x1 |
| y0+y1 |
| x0+x1 |
∴k1•k2=
| y02-y12 |
| x02-x12 |
| 1 |
| 4 |
（Ⅲ）设直线l的方程为x=my+
| 3 |
| x2 |
| 4 |
得(4+m2)y2+2
| 3 |
设P（x3，y3），Q（x4，y4），得
|
∴|PQ|=
| (x3-x4)2+(y3-y4)2 |
| (1+m2)[(y3+y4)2-4y3y4] |
=
| 4(1+m2) |
| 4+m2 |
F1到直线l的距离d=
2
| ||
|
设t=
| 1+m2 |
∴S△F1PQ=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| ||
| 4+m2 |
=
4
| ||
| t2+3 |
4
| ||
t+
|
当t2=3，即m2=2，m=±
| 2 |
∴原命题是假命题，△F1PQ的面积取得最大值时，直线l的方程为：
x+
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
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