题目内容
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c且cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+C)=-$\frac{3}{5}$.(1)求sinA的值;
(2)若a=4$\sqrt{2}$,b=5,求△ABC的面积.
分析 (1)由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得:cosA=-$\frac{3}{5}$,又0<A<π,则可求sinA的值.
(2)由正弦定理,可求sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,由题知a>b,可求B=$\frac{π}{4}$,根据余弦定理,解得c,利用三角形面积公式即可得解.
解答 解:(1)由cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+C)=-$\frac{3}{5}$,
得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-$\frac{3}{5}$.
则cos(A-B+B)=-$\frac{3}{5}$,即cosA=-$\frac{3}{5}$,
又0<A<π,则sinA=$\frac{4}{5}$.
(2)由正弦定理,有$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$,
所以sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
由题知a>b,则A>B,故B=$\frac{π}{4}$,
根据余弦定理,有(4$\sqrt{2}$)2=52+c2-2×$5c×(-\frac{3}{5})$,解得c=1或c=-7(负值舍去).
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×5×1×\frac{4}{5}$=2.
点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,考查了正弦定理,三角形面积公式的应用,熟练掌握灵活应用公式定理是解题的关键,属于基本知识的考查.
练习册系列答案
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