题目内容

【题目】已知过的动圆恒与轴相切,设切点为是该圆的直径.

(Ⅰ)求点轨迹的方程;

(Ⅱ)当不在y轴上时,设直线与曲线交于另一点,该曲线在处的切线与直线交于点.求证: 恒为直角三角形.

【答案】(1) (2) 证明见解析.

【解析】试题分析:(Ⅰ)设点 ,点是点 轴射影的中点,即 ,根据几何关系可知 ,将其转化为数量积的坐标表示即为轨迹方程;(Ⅱ)设直线的方程为 与抛物线方程联立,交于两点,设 ,根据导数的几何意义求和两点的直线斜率求 ,证明 ,即说明是直角三角形.

试题解析:(Ⅰ) 设点坐标为,则点坐标为

因为是直径,所以,或均在坐标原点.

因此 ,而

故有,即

另一方面,设是曲线上一点,

则有

中点纵坐标为

故以为直径的圆与 轴相切.

综上可知点轨迹的方程为

(Ⅱ)设直线的方程为

得:

,则有

求导知

从而曲线EP处的切线斜率

直线的斜率

于是

因此

所以恒为直角三角形.

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