题目内容
【题目】求证:对任何a>0,b>0,c>0,都
【答案】见解析.
【解析】
注意,这是以a,b为边长且夹角为60°的三角形的第三边的边长.同
b,c为边长且夹角为60°的三角形的第三边的边长.
a,c为边长且夹角为120°的三角形的第三边的边长.于是可将a,b,c三者归结到三角形中,并从中证得不等式. 注意
,这是以a,b为边长且夹角为60°的三角形的第三边的边长.同
b,c为边长且夹角为60°的三角形的第三边的边长.
a,c为边长且夹角为120°的三角形的第三边的边长.于是可将a,b,c三者归结到三角形中,并从中证得不等式.
证明构造平面图形如图所示,其中OA=a,OB=b,OC=c,∠AOB=∠BOC=60°.
由余弦定理,得
,
,
因为AB+BC≥AC,所以有
,
其中等号成立的充要条件是AB+BC=AC,即A,B,C在同一条直线上,此时S△AOC=S△AOB+S△BOC,
120°
60°
60°,
即ac=ab+bc.
两边同除以abc,
即等号成立的充要条件
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