Question

如图，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁，中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动.

（1）证明：D₁E⊥A₁D；

（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；

（3）AE等于何值时，二面角D₁—EC—D的大小为.

　 　　　　　　　　　　

Answer 1

解法（一）（1）证明：∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴A₁D⊥D₁E…………4分

（2）设点E到面ACD₁的距离为h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，

故……8分

………………10分

（3）过D作DH⊥CE于H，连D₁H、DE，则D₁H⊥CE，

  ∴∠DHD₁为二面角D₁—EC—D的平面角.

设AE=x，则BE=2－x

………………12分

∴AE=时，二面角D₁—EC—D的大小为.………………14分

解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD₁分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）

（1）………………4分

（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，

，设平面ACD₁的法向量为，则

也即，得，从而………………8分

所以点E到平面AD₁C的距离为………………10分

（3）设平面D₁EC的法向量，∴

由  令b=1, ∴c=2,a=2－x，

∴………………12分

依题意

∴（不合，舍去）， .

∴AE=时，二面角D₁—EC—D的大小为.………………14分