Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为、，且点到椭圆上任意一点的最大距离为3，椭圆的离心率为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)是否存在斜率为的直线与以线段为直径的圆相交于、两点，与椭圆相交于、，且？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）由椭圆的几何性质可得，结合，可求得参数值，进而得到方程；（2）由圆中的垂径定理得到由弦长公式得到，再有，可解出参数值.

解析：

(1)设， 的坐标分别为， ，根据椭圆的几何性质可得，解得， ，则，故椭圆的方程为.

(2)假设存在斜率为的直线，那么可设为，则由(1)知， 的坐标分别为， ，可得以线段为直径的圆为，圆心到直线的距离，得，

，

联立得，设， ，

则，

得， ， ， 解得，得.即存在符合条件的直线.