题目内容
【题目】已知函数,其中
为自然对数的底数,常数
.
(1)求函数在区间
上的零点个数;
(2)函数的导数
,是否存在无数个
,使得
为函数
的极大值点?说明理由.
【答案】(1)1(2)存在
【解析】【试题分析】(1)对函数求导后得到函数的单调区间,利用二分法判断函数在给定区间上只有一个零点.(2)原命题等价于,存在无数个,使得
成立,求得
的表达式,构造为函数
,利用导数证得
存在负值即可.
【试题解析】
(1),当
时,
单调递减;当
时,
单调递增;
因为,所以存在
,使
,
且当时,
,当
时,
.
故函数在区间
上有1个零点,即
.
(2)(法一)当时,
.
因为当时,
;当
,
.
由(1)知,当时,
;当
时,
.
下证:当时,
,即证
.
,
记…
,所以
在
单调递增,
由,
所以存在唯一零点,使得
,且
时,
单调递减,
时,
单调递增.
所以当时,
.……
由,得当
时,
.
故.
当时,
单调递增;
当时,
单调递减.
所以存在,使得
为
的极大值点.
(2)(法二)因为当时,
;当
,
.
由(1)知,当时,
;当
时,
.
所以存在无数个,使得
为函数
的极大值点,即存在无数个
,使得
成立, ①…由(1),问题①等价于,存在无数个
,使得
成立,
因为,
记…
因为
,当
时,
,所以
在
单调递增,因为
,
所以存在唯一零点,使得
,且当
时,
单调递减;当
时,
单调递增;
所以,当时,
, ②…
由,可得
,代入②式可得
,
当时,
,
所以,必存在,使得
,即对任意
有解,
所以对任意,函数
存在极大值点为
.…
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】2017年6月深圳地铁总公司对深圳地铁1号线30个站的工作人员的服务态度进行了满意度调查,其中世界之窗、白石洲、高新园、深大、桃园、大新6个站的得分情况如下:
地铁站 | 世界之窗 | 白石州 | 高新园 | 深大 | 桃园 | 大新 |
满意度得分 | 70 | 76 | 72 | 70 | 72 | x |
已知6个站的平均得分为75分.
(1)求大新站的满意度得分x,及这6个站满意度得分的标准差;
(2)从表中前5个站中,随机地选2个站,求恰有1个站得分在区间(68,75)中的概率.