题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,函数
在区间
上的最小值为-5,求
的值;
(Ⅱ)设,且
有两个极值点
,
.
(i)求实数的取值范围;
(ii)证明:.
【答案】(Ⅰ)8;(Ⅱ)(i);(ii)详见解析.
【解析】
(Ⅰ)对求导,
可得
,
单调递增,得到
最小值,从而得到
的值.
(Ⅱ)(i)有两个极值点
,
,通过参变分离转化为
有两个不相等的实数根,再转化成两个函数交点问题,从而得到
的取值范围.
(ii)根据题意得到,
,两式相加、减消去
,设
构造出关于
的函数,利用导数得到单调性,进行证明.
解:(Ⅰ),
∵,
,∴
,
所以在区间
上为单调递增.
所以,
又因为,
所以的值为8.
(Ⅱ)(i)∵
,
且的定义域为
,
∴.
由有两个极值点
,
,
等价于方程有两个不同实根
,
.
由得:
.
令,
则,由
.
当时,
,则
在
上单调递增;
当时,
,则
在
上单调递减.
所以,当时,
取得最大值
,
∵,∴当
时,
,当
时,
,
所以,解得
,所以实数
的取值范围为
.
(ii)证明:不妨设,
且①,
②,
①+②得: ③
②-①得: ④
③÷④得:,即
,
要证:,
只需证.
即证:.
令,
设,
.
∴在
上单调递增,
∴,即
,
∴.
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