题目内容

(本小题满分12分)
如图,三棱锥中,底面
,点,点分别是的中点.

(1) 求证:侧面⊥侧面;
(2) 求点到平面的距离;
(3) 求异面直线所成的角的余弦.

(1)证明略
(2)4
(3)

(1)以所在直线为轴,所在直线轴,建立空间直角坐标系,由条件可设
(0,0,4), (0,0,0), (0,–4,0),(4,–4,0);
(0,–2,2),(2,–2,2),                    --- 2分
平面的法向量(1,0,0 ), 而,
因为, 所以侧面⊥侧面;                            --- 2分
(或 ∵ 底面, ∴ 平面⊥平面,               --- 2分
又∵ ,∴ ⊥平面, ∴ 侧面⊥侧面;) .     --- 2分
(2) 在等腰直角三角形中, , 又中位线, 而由(1)
⊥平面, 则⊥平面, ∴ ,                    --- 2分
所以平面, 那么线段即为点到平面的距离. --- 2分
(3)由(1)所建坐标系, 得=(–4,2,2), =(2,–2,2),
·="–16," 又||·||=24,                             --- 2分
<,>=–,
所成的角的余弦值是.          --- 2分
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