题目内容
【题目】在如图所示的几何体中,四边形是菱形,四边形是矩形,平面平面,,,,为的中点,为线段上的一点.
(1)求证:;
(2)若二面角的大小为,求的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)连接DB,由已知可得△ABD为等边三角形,得到DE⊥AB,则DE⊥DC,再由ADNM为矩形,得DN⊥AD,由面面垂直的性质可得DN⊥平面ABCD,得到DN⊥DE,由线面垂直的判断可得DE⊥平面DCN,进一步得到DE⊥CN;
(2)由(1)知DN⊥平面ABCD,得到DN⊥DE,DN⊥DC,又DE⊥DC,以D为坐标原点,DE、DC、DN分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设,λ∈[0,1],分别求出平面PDE与平面DEC的一个法向量,由二面角P﹣DE﹣C的大小为列式求得λ即可.
(1)连接.
在菱形中,,,
为等边三角形.
又为的中点,.
又,.
四边形为矩形,.
又平面平面,
平面平面,
平面,
平面.
平面,.
又
平面.
平面,
.
(2)由(1)知平面,
平面,。
两两垂直.
以为坐标原点,所在的直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
,
设,
则,.
设平面的法向量为,
则,
即,
令,则.
由图形知,平面的一个法向量为,
则,
即,即.
,
解得,的值为.
【题目】西安市自2017年5月启动对“车不让人行为”处罚以来,斑马线前机动车抢行不文明行为得以根本改变,斑马线前礼让行人也成为了一张新的西安“名片”.
但作为交通重要参与者的行人,闯红灯通行却频有发生,带来了较大的交通安全隐患及机动车通畅率降低,交警部门在某十字路口根据以往的检测数据,得到行人闯红灯的概率约为0.4,并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查,对是否存在闯红灯情况得到列联表如下:
30岁以下 | 30岁以上 | 合计 | |
闯红灯 | 60 | ||
未闯红灯 | 80 | ||
合计 | 200 |
近期,为了整顿“行人闯红灯”这一不文明及项违法行为,交警部门在该十字路口试行了对闯红灯行人进行经济处罚,并从试行经济处罚后穿越该路口行人中随机抽取了200人进行调查,得到下表:
处罚金额(单位:元) | 5 | 10 | 15 | 20 |
闯红灯的人数 | 50 | 40 | 20 | 0 |
将统计数据所得频率代替概率,完成下列问题.
(Ⅰ)将列联表填写完整(不需写出填写过程),并根据表中数据分析,在未试行对闯红灯行人进行经济处罚前,是否有99.9%的把握认为闯红灯与年龄有关;
(Ⅱ)当处罚金额为10元时,行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少;
(Ⅲ)结合调查结果,谈谈如何治理行人闯红灯现象.
参考公式: ,其中
参考数据:
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
1.132 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |