题目内容
【题目】设函数f(x)=x3﹣12x+4,x∈R.
(1)求f(x)的单调区间和极值;
(2)若关于x的方程f(x)=a有3个不同实根,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:∵f(x)=x3﹣12x+4,
∴f′(x)=3x2﹣12=3(x+2)(x﹣2)
令f′(x)=0得:x1=﹣2,x2=2
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x | (﹣∞,﹣2) | ﹣2 | (﹣2,2) | 2 | (2,+∞) |
f'(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + |
f(x) | 增 | 极大 | 减 | 极小 | 增 |
所以f(x)的增区间是(﹣∞,﹣2)和(2,+∞),减区间是(﹣2,2);
当x=﹣2时,f(x)取得极大值,极大值f(﹣2)=20;
当x=2时,f(x)取得极小值,极小值f(2)=﹣12
(2)解:由(1)可知y=f(x)图象的大致形状及走向:
∴当﹣12<a<20时,直线y=a与y=f(x)的图象有3个不同交点,
即当﹣12<a<20时方程f(x)=a有三解
【解析】(1)求出函数的导函数,进而分析导函数在不同区间上的符号,进而根据导函数为正,对应函数的单调递增区间;导函数为负,对应函数的单调递减区间,得到f(x)的单调区间;再由左增右减对应函数的极大值,左减右增,对应函数的极小值,得到f(x)的极值;(2)由(1)作出函数f(x)的草图,进而得到方程f(x)=a有3个不同实根,可转化为a值,介于函数的两极值之间,进而得到实数a的取值范围.
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数,需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案.