Question

【题目】如图：三棱柱的所有棱长均相等，，为的中点.

(1)求证：平面⊥平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) .

【解析】试题分析：（1）连接CB1交BC1于点O，利用等腰三角形的三线合一证明线线垂直，再利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理进行证明；（2）取A1B1的中点

为H，连接C1H、BH，利用面面垂直的判定定理和性质定理得到线面垂直，即作出线面角，再利用直角三角形进行求解.

试题解析：（1）

如图1，连接CB1交BC1于点O，则O为CB1与BC1的中点，连接EC，EB1 依题意有EB=EC1=EC=EB1

∴EO⊥CB1，EO⊥BC1, ∴EO⊥平面BCC1B1，

∴平面EBC1⊥平面BCC1B1，

(2)如图2取A1B1的中点为H，连接C1H、BH，

∵，∴平面A1B1C1⊥平面BB1A1A,

平面A1B1C1平面BB1A1A= A1B1,

又∵A1C1=B1C1，H为A1B1的中点，∴C1H⊥A1B1,∴C1H⊥平面BB1A1A，

则∠C1BH为直线BC1与平面BB1A1A所成的角。

令棱长为2a，则C1H=，BC1=，

∴

所以直线BC1与平面BB1A1A所成角的正弦值为